HÌNH HỌC 9 - HỌC KÌ 2 - CHUYÊN HÀ NỘI AMSTERDAM 2025

Bài 1

Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, nội tiếp $(O)$. Lấy điểm $D$ trên cung nhỏ $AB$ của $(O)$, $CD$ cắt $AO$ tại $K$, $AD$ cắt $BC$ tại $E$.

1. Chứng minh $AO \perp BC$ và $D,B,O,K$ thuộc một đường tròn.
2. Tính $\angle EDB$ và chứng minh $AD.AE=AC^2=BO.BC$.
3. Tia phân giác của $\angle BDC$ cắt đường tròn tâm $L$ đường kính $AE$ tại $I$. Tia $ID$ cắt $(L)$ tại $J$ khác $I$. Chứng minh $JBIC$ là tứ giác nội tiếp và $\angle BID = \angle OJC$.

1. Vì $\triangle ABC$ vuông cân tại $A$ và nội tiếp $(O)$ nên $O$ là trung điểm của $BC$.

Suy ra $AO \perp BC$.

Ta có $D \in (O)$ nên $\angle BDO = \angle BDK = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra $3$ điểm $B, D, K$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BK$.

Lại có $\angle BOK = 90^\circ$ nên $3$ điểm $B, O, K$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BK$.

Do đó $4$ điểm $B,D,K,O$ cùng thuộc một đường tròn.
2. Xét $(O)$ ta có $\angle ADC = \dfrac{1}{2}\angle AOC = \dfrac{1}{2}.90^\circ = 45^\circ$ (góc nội tiếp bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung).

Suy ra $\angle EDB = 45^\circ$.

Ta có $\angle ACE = \angle ACB = \dfrac{1}{2}\angle AOB = 45^\circ = \angle ADB$

Do đó $\triangle ADC \backsim \triangle ACE$ (góc - góc)

Suy ra $\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{AC}{AE}$ hay $AD.AE = AC^2$ (1).

Lại có $\triangle OAC$ vuông cân tại $O$ nên $AC^2=OA^2+ OC^2 = 2R^2 = BO.BC$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $AD.AE = AC^2 = BO.BC$.
3. Dễ thấy $AE$ là đường trung trực của $IJ$ nên $AI =AJ$.

Vì $J \in (L)$ nên $\angle AJE = 90^\circ$ và $JD \perp AE$ nên ta có $AJ^2 = AD.AE$.

Lại có $AC^2 = AD.AE$ suy ra $AJ = AC$

Mặt khác $AB = AC$ và $AI = AJ$ nên $AJ = AB = AI = AC$ hay tứ giác $JBIC$ là tứ giác nội tiếp.

Xét $(A)$ ta có $\angle IBO = \angle JBC = \angle JIC$ (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung).

Xét $(L)$ ta có $\angle JOB = \angle JOE = \angle JBE$ (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung).

Lại có $EI^2 = ED.EA = EB.EC$ nên $\triangle EBI \backsim \triangle ECI$ suy ra $\angle EIB = \angle ECI$.

Mặt khác $\angle BIJ = \angle BCJ$ (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)

Suy ra $\angle EIJ = \angle ICJ$ suy ra $\angle JOB = \angle JCI$.

Từ đó ta có $\triangle JBO \backsim \triangle JIC$ (góc - góc)

Suy ra $\angle BJO = \angle IJC$ do đó $\angle BJI = \angle OJC$ hay $\angle BJD = \angle OJC$.

Xem lời giải