ĐỀ MINH HỌA - CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ
Bài 1 (2,0 điểm)
- Cho số $a=\sqrt{3+\sqrt{5+2\sqrt{3}}}+\sqrt{3-\sqrt{5+2\sqrt{3}}}$. Tính giá trị của biểu thức $T=\dfrac{a^3+a^2-8a+4}{a^3-3a^2+17}$.
- Tìm điểm cố định mà đường thẳng $(d): y=(2m-3)x+3m-1$ luôn đi qua với mọi $m$.
Bài 2 (2,0 điểm)
- Tìm các số nguyên $x,y$ thỏa mãn $\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{2}{y+2}=\dfrac{1}{3}$.
- Cho số nguyên dương $n$ và số nguyên tố $p$ thỏa mãn $p>n+1$. Biết rằng $(-1)^n.(p-n-1)!-1$ chia hết cho $p$. Chứng minh rằng $n^{p-1}+n!$ cũng chia hết cho $p$.
Bài 3 (2,0 điểm)
- Tìm $m$ để phương trình $x^2-(m+2)x+2m=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ sao cho $x_1^2+(m+2)x_2=12$.
- Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^4+y^4+1=25y^2-2x^2 \\ x^2+y^2+1=y(18-x^2)\end{cases}$.
Bài 4 (3 điểm)
Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O;R)$ có dây $BC$ cố định. Hai đường cao $BE,CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M,N$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của điểm $H$ trên các đường phân giác trong và ngoài tại đỉnh $A$ của tam giác $ABC$. Các tiếp tuyến của $(O;R)$ tại $B,C$ cắt nhau tại $P$, $AP$ cắt $O;R)$ ở $Q$ khác $A$.
- Chứng minh rằng $MN$ là đường trung trực của $EF$.
- Chứng minh rằng các đường thẳng $AP,MN,EF$ đồng quy.
- Chứng minh rằng khi $A$ thay đổi trên cung lớn $BC$ thì đường thẳng $MN$ luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 5 (1,0 điểm)
Cho bảng hình vuông kích thước $7 \times 7$. Trên mỗi hình vuông đơn vị của bảng người ta viết một số thực khác $0$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau đây:
- Tích các số trên mỗi hình vuông $4 \times 4$ bằng tích các số trên mỗi hình vuông $3 \times 3$.
- Tổng tất cả các số trên hình vuông kích thước $7 \times 7$ bằng $2025$.
Chứng minh rằng tồn tại một cách viết thỏa mãn yêu cầu đề bài.
VIDEO CHỮA CHI TIẾT
