ĐỀ MINH HỌA - CHUYÊN ĐỒNG NAI
Bài 1 (2,0 điểm)
- Cho hai số thực dương $a, b$ thỏa mãn $ab=1$. Chứng minh rằng:
- Tìm $m$ để phương trình $x^2+2mx+m-2=0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$ thỏa mãn:
$$\dfrac{\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\sqrt{a+b}.$$
$$x_1^2-2mx_2+m-3>0$$
Bài 2 (2,0 điểm)
- Cho $P(x)$ là đa thức bậc ba thỏa mãn $P(4)=24$ và $xP(x-1)=(x-3)P(x)$ với mọi số thực $x$.
- Giải hệ phương trình $\begin{cases}y^2-2xy+6y-12x=0 \\ \sqrt{x+y+1}-\sqrt{3-y}=xy+6x-y-5\end{cases}$.
Chứng minh rằng $P(0)=0$ và tìm $P(x)$.
Bài 3 (2,0 điểm)
- Từ các số $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$ cần chọn ra ít nhất bao nhiêu số, sao cho trong các số được chọn luôn tồn tại hai số $a, b$ thỏa mãn $a + 2b$ là số nguyên tố.
- Tìm các số nguyên tố $p, q, r$ và số nguyên dương $n$ sao cho $p^n + q^2 = r^2$.
Bài 4 (1,0 điểm)
Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $ab + bc + ca \geq 3$. Chứng minh rằng:
- $a + b + c \geq 3$.
- $a\sqrt{b^2+3} + b\sqrt{c^2+3} + c\sqrt{a^2+3} \geq 6$.
Bài 5 (3 điểm)
Cho hai đường tròn $(O_1), (O_2)$ có cùng bán kính $R$, cắt nhau tại $A, B$ và $O_1O_2 > R$. Đường thẳng qua $A$, vuông góc với $AB$, cắt lại $(O_1), (O_2)$ theo thứ tự ở $C, D$. Trên nửa mặt phẳng bờ $CD$ chứa $B$, xét tia $Ax$ tạo với tia $AC$ góc $60^\circ$ và $Ax$ cắt $(O_2)$ tại $E$, cắt $(O_1)$ tại $F$.
- Chứng minh rằng $\angle AFC = \angle AED$.
- Chứng minh rằng các điểm $O_1, O_2, E, F$ cùng thuộc một đường tròn và $DE, CF$ là các tiếp tuyến của đường tròn đó.
- Trên nửa đường tròn đường kính $CA$, khác phía với $O_1$, dựng điểm $T$ sao cho $CT = R$, chứng minh rằng $O_1E \cdot O_2F = TA^2$.
VIDEO CHỮA CHI TIẾT
